外插齿刀设计可行性的快速判别与计算

JuckCarpenter

变位系数的选取是设计外插齿刀的关键步骤。选取变位系数时需要考虑插齿刀齿顶变尖、齿轮副啮合时的过渡曲线干涉、切齿时的齿轮根切与顶切等限制条件。传统的插齿刀设计方法的一个主要缺点是最大、最小变位系数的确定需经过多次反复试算，计算繁琐，设计效率低，在试算过程中无法确定插齿刀的可重磨厚度，因此难以判别插齿刀设计的可行性。为此，本文利用变位系数选择的限制区域并结合AutoCAD设计软件，提出一种可对插齿刀设计的可行性进行快速判别与计算的方法。 2 基本原理
当给定插齿刀齿数后，在由啮合中心距a10与插齿刀齿顶圆半径ra0组成的a100ra0直角坐标系中，分别根据被切齿轮的顶切、根切、过渡曲线干涉和插齿刀齿顶变尖等限制条件作出曲线，构成变位系数选择的限制区域。根据插齿刀齿顶圆半径计算公式作出插齿刀齿顶圆半径计算曲线，该曲线与限制区域边界的两交点坐标即为插齿加工时许用的最小啮合中心距[a10]min和最大啮合中心距[a10]max、插齿刀最小齿顶圆半径[ra0]min和最大齿顶圆半径[ra0]max。通过式(1)、式(2)即可较简便地求出插齿刀许用的最小、最大变位系数[X0]min、[X0]max和插齿刀的实际可重磨厚度B： ra0= m(Z0/2+h*a0+X0) (1)
式中：m——被切齿轮(插齿刀)模数
Z0——插齿刀的齿数(设计时预先给定)h*a0——插齿刀齿顶高系数
X0——插齿刀变位系数 B= m([X0]max-[X0]min)
tanae
式中ae——插齿刀齿顶后角 3 插齿刀变位系数限制区域的确定
无侧隙啮合方程插齿刀与被切齿轮间的无侧隙啮合方程为 inva10= 2(X0+ X1) tana+inva
(Z0+Z1)
(3)
a10= m(Z1+Z0) cosa
2 cosa10
式中：a10——插齿刀与被切齿轮间的啮合角
a——被切齿轮(插齿刀)分圆处压力角
Z1——被切齿轮齿数
X1——被切齿轮变位系数
被切齿轮顶切限制曲线的确定
为保证插齿加工时被切齿轮不产生顶切，应满足下式：
a10sina10-(ra12-rb12)½≥0
经整理后，可得不产生顶切的极限条件为 a10min= {[ m(Z1+Z0)cosa ] 2ra12-rb12 } ½
式中：a10min——插齿时被切齿轮不产生顶切的最小啮合中心距
ra1——被切齿轮齿顶圆半径
rb1——被切齿轮基圆半径
将a10min代入式(3)、(4)，即可计算出被切齿轮不产生顶切时插齿刀的最小变位系数X0min。当被切齿轮和插齿刀的原始参数给定时，a10min为定值，不产生顶切的限制曲线为一条垂直于a10坐标轴的直线，直线的右边即为被切齿轮不产生顶切的区域(参见图1)。
被切齿轮根切限制曲线的确定
为保证插齿加工时被切齿轮不产生根切，应满足下式：
a10sina10-(ra02-rb02)½≥0
经整理后，可得不产生根切的极限条件为  (6)
式中ra0gq——啮合中心距为a10时被切齿轮刚好不根切的插齿刀齿顶圆半径同理可作出不产生根切的限制曲线，该曲线的下方即为被切齿轮不产生根切的区域。
1.被切齿轮顶切限制曲线 2.被切齿轮根切限制曲线 3.插齿刀齿顶变尖限制曲线 4.齿轮过渡曲线干涉限制曲线 5.插齿刀齿顶圆半径计算曲线
图1 无法选择插齿刀变位系数的情况

齿轮过渡曲线干涉限制曲线的确定
为保证插齿加工时被切齿轮与配对齿轮啮合时不产生过渡曲线干涉，应满足下式：
a10sina10-(ra02-rb02)½≤rmin
经整理后，可得不产生过渡曲线干涉的极限条件为  (7)
式中：ra0gx——啮合中心距为a10时被切齿轮刚好不产生过渡曲线干涉的插齿刀齿顶圆半径
rmin——被切齿轮与共轭齿轮啮合时应具有的有效渐开线最小曲率半径同理可作出不产生过渡曲线干涉的限制曲线，该曲线的上方即为齿轮不产生过渡曲线干涉的区域(参见图1)。
插齿刀齿顶变尖限制曲线的确定
进行插齿刀常规设计时，可根据有关设计图表查出保证插齿刀齿顶不变尖的最大变位系数X0max。将被切齿轮和插齿刀的原始参数代入式(2)、(3)，并用X0max代替式(2)中的X0，即可计算出插齿加工时插齿刀齿顶不变尖的最大啮合中心距a10max。当被切齿轮和插齿刀的原始参数给定后，ra0max和a10max均为定值，即为a100ra0直角坐标系中的一点，通过该点可作出一条垂直于a10坐标轴的直线，该直线即为插齿刀齿顶不变尖的限制曲线，直线的左边即为插齿刀齿顶不变尖的区域(参见图1)。在a100ra0直角坐标系中，插齿刀变位系数选择的限制区域即由上述四条限制曲线组成(参见图1中阴影部分)。
插齿刀齿顶圆半径计算曲线的确定
插齿刀齿顶圆半径ra0js的计算曲线可按式(1)确定。
4 插齿刀设计可行性的判别
在a100ra0直角坐标系中，由于被切齿轮根切限制曲线、齿轮过渡曲线干涉限制曲线以及插齿刀齿顶圆半径计算曲线的挠度均很小，且a10min～a10max的范围一般较小，因此可将a10min、a10max或X0min、X0max带入式(6)、式(7)和式(1)中，并求出各自的ra0min、ra0max值，用( a10min，ra0min)和( a10max，ra0max)两点之间的连线代替各自的曲线。由此产生的误差很小，可忽略不计。
无法选择插齿刀变位系数的情况
图1所示为无法选择插齿刀变位系数的几种情况。在图1a、b中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5均在限制区域(阴影部分)之外；在图1c中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5 分别与被切齿轮的顶切限制曲线1和根切限制曲线2相交，由于这两条曲线均限制了最小变位系数的选择，因此无法得到所需的最大变位系数；在图1d 中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5 分别与插齿刀齿顶变尖限制曲线3和齿轮过渡曲线干涉限制曲线4相交，由于这两条曲线均限制了最大变位系数的选择，因此无法得到所需的最小变位系数。因此，在上述几种情况下均需改变插齿刀齿数，重新进行设计。
可选择插齿刀变位系数的情况
图2所示为可选择插齿刀变位系数的几种情况。在图2a中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5通过限制区域，且分别与被切齿轮顶切限制曲线1和插齿刀齿顶变尖限制曲线3相交，此时[X0]min=X0min，[X0]max=X0max；在图2b中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5通过限制区域，且分别与被切齿轮根切限制曲线2和齿轮过渡曲线干涉限制曲线4相交，此时[X0]min≠X0min，[X0]max≠X0max，与[X0]min、[X0]max对应的[a10]min、[a10]max分别为曲线5与曲线2、曲线4交点的横坐标；在图2c中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5通过限制区域，且分别与被切齿轮根切限制曲线2和插齿刀齿顶变尖限制曲线3相交，此时[X0]max=X0max，但[X0]min≠X0min，与[X0]min对应的[a10]max为曲线5与曲线2交点的横坐标；在图2d中，插齿刀齿顶圆半径计算曲线5通过限制区域，且分别与被切齿轮顶切限制曲线1和齿轮过渡曲线干涉限制曲线4 相交，此时[X0]min=X0min，但[X0]max≠X0max，与[X0]max对应的[a10]max为曲线5与曲线4 交点的横坐标。
上述图形采用AutoCAD设计软件绘制，利用软件的对象捕捉功能即可得到其交点坐标。根据式(1)即可求得所需的[X0]min和[X0]max，将其代入式(2)即可计算出插齿刀的实际可重磨厚度。
5 结语
利用变位系数选择的限制区域并结合AutoCAD设计软件，通过分析变位系数选择的有效性和计算插齿刀的实际可重磨厚度，即可快速判别插齿刀设计的可行性。该方法计算简便，设计效率较高，较好克服了传统试算法计算繁琐、设计效率低的缺陷。对于插齿刀齿顶圆半径按ra0=a10-rf1计算的情况，只需改变插齿刀齿顶变尖限制曲线和插齿刀齿顶圆半径计算曲线，即可进行设计。
1.被切齿轮顶切限制曲线 2.被切齿轮根切限制曲线 3.插齿刀齿顶变尖限制曲线 4.齿轮过渡曲线干涉限制曲线 5.插齿刀齿顶圆半径计算曲线

刀疤五

插刀的齿顶圆角半径考虑了没有？
结论：没有什么用处