对斜齿轮端面和法面齿形分层“展开”的一种方式可行吗？

CHENDEGANG

这个问题有点欲罢不能。在分度圆柱上齿线为螺旋线，过螺旋线上任一点可做与它垂直的另一条螺旋线（将分度圆柱展开，两条螺旋线亦展开为互相垂直的直线），该螺旋线对应的正螺旋面，是设想的“螺旋法面”。螺旋法面的概念前所未有，而螺旋法面上的齿型是否为渐开线甚至这个概念是否存在都是个问题。螺旋法面无法展开，但圆柱面可以展开。考虑采用圆柱面分层展开法。几何上描述如下：对于同一个斜齿轮，先取它的一个端面齿形，它在分度圆柱面上有两个交点，将分度圆柱面展开后得到平面上两个交点，作两点连线的中垂线。如此沿整个齿的渐开线分别在不同圆柱面上展开，可得到一系列交点的连线和它们的中垂线。使这些连线的中垂线重合，连线之间的间隔等于相应分层圆柱的半径之差。如此可得到端面齿形的一个“展开”图，并假设这个展开图具有某个特点是渐开线齿形所独有的。如果我们对它的螺旋法面上的齿形做同样的工作，也可以得到一个“展开”图。这个图会是什么样子？如果它具有上述展开图同样的特点，是否就可以认为它是渐开线性质的？如果不具有这个特点，那么它就不是渐开线性质的？在同一圆柱面上，端面齿形上两交点展开后得到的两点连线的长度（即弧齿厚）与螺旋法面齿形上两交点展开后得到的两点连线的长度具有三角函数关系，与螺旋角有关。而在不同直径圆柱面上，螺旋角不同，这是否就意味两个展开图不具有线性对应关系，那么法面齿形就不是渐开线性质的？能力所限，只能从几何方面来描述我的想法，这里也许有根本性错误而在文字上很难判别。如果有高手对此有兴趣，以数学论证或3D建模技术来呈现这个“分层展开实验”，或能进一步澄清有关疑惑和错误？

CHENDEGANG

呜呜，没人回复，可能只有我这样的新人还对这个老话题仍怀有好奇吧？其实我很想看到这样一个结果：当这个齿轮螺旋法面上的一个齿形一层层展开并叠加后得到的齿形，与它的当量直齿轮的一个端面齿形展开后的形状能够吻合（当量齿数似乎要取Z/Cos2β，即当量直齿轮分度圆的周长等于斜齿轮分度圆柱上螺旋法线一个导程内的展开长度？）。如果是这样，结局就太完美了。唉，只有苦苦等待，有高人能呈现出来，它是的，或者它不是的，了却一桩心事，哈哈哈，，，

woodee

CHENDEGANG 发表于 2022-6-6 17:38
呜呜，没人回复，可能只有我这样的新人还对这个老话题仍怀有好奇吧？其实我很想看到这样一个结果：当这个齿 ...

不是不接茬，是问题太复杂。  

几百年来，大伙能够讨论清楚的，都是基于笛卡尔的平面仿射坐标系和衍生出来的球面坐标系而进行的。  
其局部问题，都归于微分以及微分几何范畴。  
其它更为复杂的问题，都尽可能映射为平面仿射坐标或球面座标，再进行讨论。  
这都是为了让更多人容易思路入门。

您现在打算以螺旋面为基面入手探讨，应该太过复杂了。  

也可提个建议： 先求得指状铣刀回转面与斜齿轮齿面的接触线，以此接触线上的点，考察过点的螺旋线，再探讨您所谓的“螺旋法面”问题。  
  

CHENDEGANG

谢谢版主指教，正因为反复研读了版主和各位前辈之前讨论的帖子，让我学到了许多新的知识，在这里一并致谢啦！！！
可能是我对这个问题有那么一点执念，或者是主观愿望吧，不过现在回过头去想，又似乎释怀了。
受版主“法向齿厚”概念的启发，我也曾尝试计算斜齿轮在不同圆柱面上展开后的法向齿厚，将它们与当量直齿轮的齿厚进行对比，除了分度圆柱上的齿厚一致，其余各处均存在一定误差，当量齿数也按不同算法尝试过(按Z/Cos^2β似乎误差最小），没有找到一种能吻合的，因而觉得法面上（无论哪种法面定义）可能不存在所谓渐开线，至少法平面只适于微分意义上的计算而不是分析整个齿形。但法面模数和法面压力角的概念实在太深入人心了，法面怎么能没有渐开线呢，哈哈哈，，，确实该放下执念了。如版主所建议，不如从刀具方面去考察，我是干刀具的，希望今后版主能多多指教！

CHENDEGANG

1）附图是斜轮“法向“齿厚（法面模数1，齿数24）和当量直轮齿厚（模数1，齿数24/Cos^2β）对比的结果，方法比较笨，根源是想投机，碰运气。正如Woodee版主提出的，因为不同齿线的螺旋角不一样，螺旋法面要与每条齿线垂直，母线就不可能为直线。这个真正的螺旋法面很难呈现出来，但螺旋法面上齿形在所有圆上的法向齿厚是可求解的（附图计算的即是法向齿厚）。问题是是否存在一个特定的当量齿数（也许是无理数，哈哈哈）的直轮齿厚皆与之相等，不知道如何从数学上去计算或者判定它根本不存在。
2）考虑实际加工中多采用直条形刀具，因而也曾设想是否以“正”螺旋面（母线为直线且仅与分度圆柱上的螺旋齿线垂直）作法面，但此时“法面齿厚”的计算就很困难（除分度圆，法面与其它齿线并不完全垂直）。"正"螺旋法面比较容易呈现，因而想到是否有熟悉3维设计软件的朋友能采用分层展开法将所有"法面"齿厚叠加得到法面的展开齿形，然后能否找到几何上更直观的分析和判定方法，这是本贴的初衷。
以上，即是"寻找"法面或法向渐开线的两个思路，这里统一做一个说明，也是做一个"告别"，因为我也觉得法面或法向存在渐开线的可能性极小极小，，，