圆柱齿轮无侧隙啮合方程公式推导过程

henrymao · 发表于 2021-1-4 15:04

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在《机械原理》中已经有具体推导过程，但是推导过程比较简单，下面我这边稍微详细的复述下，推导思路出自《机械原理》，王知行，刘廷荣主编，高等教育出版社，2000

1，两齿轮的节圆齿距相等：

节圆处齿轮1和齿轮2做纯滚动，就是说单位时间内齿轮1和齿轮2在节圆上滚动过的线长是一样的。

设，齿轮1滚过的线长为L1，齿轮2滚过的线长为L2。

$L1=L2$

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齿轮1单位时间内转过的角度为θ1，齿轮2单位时间内转过的角度为θ2，

齿轮1的节圆半径为r'1，齿轮2的节圆半径为r'2

根据弧长公式有：

$L1=\theta 1\times r'1$

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$L2=\theta 2\times r'2$

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齿轮是恒速比传动，

$\frac{θ1}{θ2}=\frac{z2}{z1}$

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所以结合上面三个等式有：

$L1=L2$

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$θ1\times r'1=θ2\times r'2 （等号两边带入L1,L2对应公式）$

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$\frac{z2}{z1}θ2\times r'1=θ2\times r'2 （θ1按恒速比公式换算为θ2的表达式）$

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$\frac{z2}{z1}=\frac{r'2}{r'1}（上式整理后即可获得）$

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齿轮节圆节距的符号为

$p'$

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,

$p'=\frac{2\pi \times r'}{z}$

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$\frac{p'1}{p'2}=\frac{\frac{2\pi \times r'1}{z1}}{\frac{2\pi \times r'2}{z2}}=\frac{r'1}{r'2}\times\frac{z2}{z1}=\frac{r'1}{r'2}\times\frac{r'2}{r'1}=1$

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2，节圆齿距等于节圆弧齿厚与节圆齿槽宽之和。

$p'=s'+e'$

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$s'$

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节圆弧齿厚

$e’$

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节圆齿槽宽

那么为了保证无侧隙啮合，一个齿轮的节圆齿厚等于另一个齿轮的节圆齿槽宽就行了。就有

$s'1=e'2$

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$s'2=e'1$

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$p'1=s'1+e'1=s'1+s'2$

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因为

$p'=p'1=p'2$

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所以最后有无侧隙啮合公式

$p'=s'1+s'2$

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所以无侧隙啮合条件为节圆齿距等于两齿轮的节圆齿厚之和。

然后根据任意圆公式可以获得两个齿轮的节圆齿厚：

$s'1=s1\frac{r'1}{r1}-2\times r'1\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$s'2=s2\frac{r'2}{r2}-2\times r'2\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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那要继续往下进行数学变换，我们需要先推导其中的部分内容

$\frac{p'}{p}=\frac{2\pi r'/z}{2\pi r/z}=\frac{r'}{r}$

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因为两个齿轮节圆节距相等我们前面已经推导过了，所以直接有：

$p'=p'1=p'2$

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$p=\frac{\pi d}{z}=\pi\frac{d}{z}=\pi m=p1=p2$

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就有

$\frac{p'}{p}=\frac{r'1}{r1}=\frac{r'2}{r2}$

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那么节圆齿厚就变为：

$s'1=s1\frac{p'}{p}-2\times r'1\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$s'2=s2\frac{p'}{p}-2\times r'2\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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因为

$p'=2\pi r'/z$

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所以有：

$r'1=\frac{p'\times z1}{2 \pi}$

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$r'2=\frac{p'\times z2}{2 \pi}$

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带入节圆齿厚公式得到

$s'1=s1\frac{p'}{p}-\frac{p'z1}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$s'2=s2\frac{p'}{p}-\frac{p'z2}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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下面我们看下无侧隙啮合公式的变换

$p'=s'1+s'2=(s1+s2)\frac{p'}{p}-\frac{p'(z1+z2)}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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约去

$p'$

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获得

$1=\frac{s1+s2}{p}-\frac{(z1+z2)}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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那么分度圆弧齿厚公式为

$s=0.5\pi m+2xtan\alpha m$

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上式就变为

$1=\frac{p+2(x1+x2)tan\alpha m}{p}-\frac{(z1+z2)}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$=1+\frac{2(x1+x2)tan\alpha m}{p}-\frac{(z1+z2)}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$\frac{2(x1+x2)tan\alpha m}{\pi m}=\frac{(z1+z2)}{\pi}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$2(x1+x2)tan\alpha =(z1+z2)\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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$x1+x2=\frac{(z1+z2)}{2tan\alpha}\times(inv\alpha'-inv\alpha)$

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上面这个公式就是齿轮手册和机械设计手册上的无侧隙啮合方程了。

所以无侧隙啮合方程的本质其实是节圆齿距等于两齿轮的节圆齿厚之和。

$p'=s'1+s'2$

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同时我们知道齿轮啮合过程中是必须有侧隙的，那么我们设侧隙为

$j$

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，那么将上面的公式改为：

$p'=s'1+s'2+j$

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是不是就能获得有侧隙啮合方程了呢？这样我们在设计阶段就可以设计出带侧隙的齿轮参数了。

yongxiangle1969 · 发表于 2021-6-28 19:02

直齿轮的公式好理解，改为斜齿以后呢？

henrymao · 发表于 2021-6-28 20:56

yongxiangle1969 发表于 2021-6-28 19:02
直齿轮的公式好理解，改为斜齿以后呢？

这个不算问题吧。你看下齿轮手册的斜齿轮变位系数之和公式就知道了。
按端面去算，不要转法向。模数是端面模数，压力角是端面压力角，反正上面用到的分端面，法向的都用端面的。
就是相当于斜齿轮齿宽无限压缩为0。
在齿宽为0的斜齿轮上，一样适用上面的推导过程。
然后得到的是手册上的公式了。
我不写了，直接上照片：
捕获.PNG

zshmail · 发表于 2021-6-29 08:16

关键是侧隙大小的选择，我个人经验是将侧隙大小设计为两齿轮径向跳动之和

henrymao · 发表于 2021-6-29 09:20

zshmail 发表于 2021-6-29 08:16
关键是侧隙大小的选择，我个人经验是将侧隙大小设计为两齿轮径向跳动之和

我有个齿轮箱A要设计，背隙要求1弧分
我有个齿轮箱B要设计，壳体是塑料的，齿轮是粉末冶金的。

你觉得你的方法A和B都适用么？

如果大家要讨论侧隙计算方法，不妨想想你的方法是否同时能给A和B选定侧隙。

我个人经验是侧隙越小越好，保证不挤齿不发热为宜。需要各家公司自行摸索合适的侧隙，没统一数学公式。

yongxiangle1969 · 发表于 2021-6-29 11:04

henrymao 发表于 2021-6-28 20:56
这个不算问题吧。你看下齿轮手册的斜齿轮变位系数之和公式就知道了。
按端面去算，不要转法向。模数是端 ...

哦，明白了。谢谢

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